四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证:PA+PD+PC≥BD

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kuangfeng0926
2012-08-28 · TA获得超过4408个赞
知道小有建树答主
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证明:在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D,
延长AP到点E,使PE=PD,连接DE,
∵PE=PD,∠DPE=60°,
∴△PDE为等边三角形,
∵DB′=AD,DP=ED,∠B′DP=∠ADE,
∴△ADE≌△B′PD(SAS),
∴B'P=AP+PD,
易知B'C≤PB'+PC,得B'C≤PA+PD+PC.
∵△AB'D是等边三角形,
∴AB'=AD,∠B'AD=60°,
又易知△ABC是等边三角形,
故AC=AB,∠BAC=60°,
∴△AB'C≌△ADB,∴B'C=DB,
∴PA+PD+PC≥BD,得证.
追问
不好意思 打错了 是AB=BC=AD。。。。。。。
追答
方法二:把线段AP绕点A逆时针旋转60度,到AQ.则△APQ为正三角形且 
△ABP≌△ACQ(SAS),PB=QC.
在△PQC中,PQ+PC≥QC,即PA+PC≥PB.
在△PBD中,PB+PD≥BD.
PA+PD+PC≥PB+PD≥BD.
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