Question

数列1,1/(1+2),1/(1+2+3),......1/(1+2+......+n)的前n项和. 请写出详细过程，谢谢。

Answer 1

设通项为an，则an=2/(n(n+1))
即求an的前n项和sn
裂项得到：an=2（1/n-1/(n+1))
sn=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4).........+2(1/n-1/(n+1))
中间的都可以相减去掉，所以sn=2-2/(n+1)=2n/(n+1)

Answer 2

考察一般项第k项(k∈N且1≤k≤n)：
1/(1+2+...+k)=1/[k(k+1)/2]=2/[k(k+1)]=2[1/k -1/(k+1)]
1 +1/(1+2)+...+1/(1+2+...+n)
=2[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n -1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)