Question

已知函数f（x）=（1+㏑x）／x，（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由

（2）若f（x）≥k／x+1恒成立，求实数k的取值范围
（3）求证：[（n+1）！]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次方），（n∈N*）

Answer 1

(1)
f(x) = (1 + lnx)x⁻¹
f'(x) = (1/x)x⁻¹ + (1+lnx)(-1)x⁻² = -x⁻²lnx
x ≥1时, lnx ≥0, x⁻² > 0, f'(x) ≤ 0, 减函数

(2)
令g(x) = (x+1)f(x) = x⁻¹(x+1)(1+lnx)
g'(x) = - x⁻²(x+1)(1+lnx) + x⁻¹(1+lnx) + x⁻¹(x+1)(1/x)
= x⁻²[-(x+1)(1+lnx) + x(1+lnx) + x+1]
= x⁻²(x - lnx)
x ≥1时, x⁻² > 0, x - lnx > 0, g'(x) >0, 增函数
若f(x) ≥k/(x+1)恒成立,
只需求g(x)在x ≥1时的最小值, x = 1时, g(x)取最小值2.
实数k的取值范围: k < 2

(3)
n = 1时, 左边= 4, 右边=2/e < 1, 不等式成立
n = 2时, 左边= 36, 右边=3, 不等式成立
假定n-1 (>2)时不等式成立: (n!)² > ne^(n-3)
[(n+1)!]² = (n+1)²(n!)² > (n+1)²*ne^(n-3) = (n+1)e^(n-2)[n(n+1)/e]
于是只需证明 n(n+1)/e >1, n(n+1) > e
n>2时, n(n+1)>2显然成立。
证毕