Question

函数f(X)对于任意实数a,b都有f(ab)=f{a)+f(b)成立,

（1）证明奇偶性
（2））如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6）≤3，且f(x)在(0,正无穷)上是增函数，求x的范围

Answer 1

1、令a=b=1,有f(1)=0
令a=b=-1,有f(-1)=0
令a=-1,b=x,有f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
所以y=f(x)为偶函数
2、f(16)=f(4)+f(4)=2
f(64)=f(16)+f(4)=3
f(3x+1)+f(2x-6）=f[(3x+1)(2x-6)]≤3=f(64)
因为f(x)在(0,正无穷)上是增函数
所以0＜(3x+1)(2x-6)≤64
-7/3≤x≤5 还没完……晚上继续，临时有事！急！

Answer 2

f(0)=f(-1*0)=f(-1)+f(0)
f(-1)=0
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
是偶函数
f(3x+1)+f(2x-6）≤3
f[(3x+1)(2x-6)]<=3f(4)
f[(3x+1)(2x-6)]<=f(6)
且f(x)在(0,正无穷)上是增函数

(3x+1)(2x-6)<=64
下面自己计算,注意在x>0内取值

Answer 3

（1）f(-ab)=f{-a)+f(b) ....(1) f(-ab)=f{a)+f(-b) ......(2)
(1)+(2)得：2f(-ab)=f{-a)+f(b)+f{a)+f(-b)=f(-a)+f(-b)+f(a)+f(b)=f((-a)(-b))+f(ab)=2f(ab)
f(-ab)=f(ab) 可见f(x)是偶函数。

（2）f(4)=f(1*4)=f(1)+f(4) f(1)=0 f(-1)=f(1)=0
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2f(2) f(2)=f(4)/2=1/2
f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=1/2+1=3/2
f(32)=f(4*8)=f(4)+f(8)=1+3/2=5/2
f(64)=f(2*32)=f(2)+f(32)=1/2+5/2=3，f(-64)=f(64)=3
f(3x+1)+f(2x-6）=f((3*x+1)(2*x-6))=f(6x^2-16x-6)≤3;
因为f(x)在(0,正无穷)上是增函数，所以6x^2-16x-6<=64，0<x<=5
因为是偶函数，所以-5<x<5