Question

若f(x) 是定义在（0，正无穷大）上的增函数，且对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)

若f(x) 是定义在（0，正无穷大）上的增函数，且对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
1,求f(1)的值
2,若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)<2

Answer 1

若f(x) 是定义在（0，正无穷大）上的增函数，且对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
(1),求f(1)的值 ；(2),若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)<2
解：(1)∵对一切x，y>0，满足f(x/y)=f(x)-f(y)，∴f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0；
(2) f(xy)=f[x/(1/y)]=f(x)-f(1/y)=f(x)-[f(1)-f(y)]=f(x)+f(y)
故f(x+3)-f(1/3)=f[(x+3)/(1/3)]=f[3(x+3)]<2=f(6)+f(6)=f(36)
因为f(x)是增函数，故有3(x+3)<36，即有3x<27，故得0<x<9。

追问

第一问看的莫名其妙，能仔细说说吗，谢谢了

追答

∵f(x/y)=f(x)-f(y)，取x=1，y=1，又1÷1=1/1=1，∴f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0；[∵f(1)=f(1)]
这不是很明白的事吗？这类问题经常要用这种方法：即形式上套用。
实际上这给是对数函数y=log‹6›x.

Answer 2

1、令x=y=1，得f（1）=0；
2、f(x+3)-f(1/3）=f[3(x+3)]<2=1+1
f[3(x+3)]-1<1
f[3(x+3)]-f(6)<f(6)
f[1/2(x+3)]<f(6)
f(x) 是定义在（0，正无穷大）上的增函数
1/2(x+3)<6
解得0<x<9