Question

设函数f（x）=(x^2+3x+m)e^-x,若函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点，求证：f（x）的极小值大于e

Answer 1

f'(x)=(2x+3-x^2-3x-m)e^(-x)=-(x^2+x-3+m)e^(-x)=0
有2个极值点都小于0，表明方程x^2+x-3+m=0有两个不等负根
则delta=1-4(-3+m)=13-4m>0,得：m<13/4
两根和=-1<0
两根积=-3+m>0, 得：m>3
综合得：3<m<13/4
设极值点x1<x2<0， x1=[-1-√(13-4m)]/2
由m的取值范围，得：-1<x1<-1/2
则f(x1)为极小值点
f(x1)=(x1^2+3x1+m)e^(-x1)=(-x1+3-m+3x1+m)e^(-x1)=(2x1+3)e^(-x1)
上式中以x1为变量，求导得：f'(x1)=-(2x1+1)e^(-x1)>0
因此f(x1)关于x1单调增，最小值为当x1=-1时取得，故f(x1)>f(-1)=e
即f(x)的极小值大于e.