Question

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=√6，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．
用向量法做

Answer 1

建立坐标系，AB中点为O，A在x正半轴上，ABC在平面xOy上，P在z正半轴上
那么A（√3，0，0），B（-√3，0，0），C（-√3，2，0），P（0，0，√3）

（Ⅰ）向量BC=（0，2，0），向量BP=（√3，0，√3）
设PBC的法向量为（a，b，c），那么
2b=0，且√3a+√3c=0
令a=1，则b=0，c=-1，即PBC的法向量为（1，0，-1）
而向量PA=（√3，0，-√3），平行于PBC的法向量
所以PA⊥平面PBC

（Ⅱ）用上面的方法分别求平面PAC和平面ABC的法向量
分别为n1=（1，√3，1），n2（0，0，1）
那么cosα=n1·n2/(|n1||n2|)=√5/5
α=arccos(√5/5)，即二面角P-AC-B的大小为arccos(√5/5)

（Ⅲ）向量BA=（2√3，0，0），向量CP=（√3，-2，√3）
cosβ=BA·CP/(|BA||CP|)=6/(2√3*√10)=√30/10
β=arccos(√30/10)，即异面直线AB和PC所成角的大小为arccos(√30/10)