Question

如图，如图，△ABC的角平分线BD和CE交于点P。

求证：①点P在∠A的平分线上
②若∠A=60°，BE=4，CD=3，求BC的长

没图，请自己想象一下吧。注，AB≠AC

Answer 1

①证明：
P点到AB的距离等于到BC的距离（P在BD上 BD为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等）
P点到BC的距离等于到AC的距离（P在CE上 CE为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等）
所以P点到AB的距离等于到AC的距离
即P点在∠A的平分线上
②在BC上取一点Q 使CQ=CD 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD （i）
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE （ii）
将（ii）带入（i）中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+CE=7

Answer 2

1，三角形的三个内角平分线交于一点。p就是这一上，因为两条平分线已交于此，所以p在
∠A的平分线上

2，楼上回答有问题：修改如下
②在BC上取一点Q 使CQ=CD(这里是CD,不是CP) 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD （i）
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE （ii）
将（ii）带入（i）中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+BE(这里是BE不是CE)=7

Answer 3

过点P分别作三边的垂线段
由点P是角平分线BD,CE的交点
所以点P分别到角ABC,角BCA两边的距离相等,
得出点P到角BAC两边的距离相等
所以点P在角A的平分线上

Answer 4

①连AP并延长交BC于F，
过P作PM⊥AB于M，
PN⊥AC于N，PH⊥BC于H，
由BD平分∠ABC，∴PM=PH，
同理：PH=PN，
得PM=PN，∴AP平分∠BAC，
即P在∠A的平分线上。
② ∵PM=PH，∠PB平分角ABC，PB是公共边，
∴△BEP≌△BFP
（

Answer 5

1
连结PA
过P作PM，PN,PQ分别垂直于AB，BC，AC于点M,N,Q
因为BD，CE是角平分线，
所以PM=PN,PN=PQ
所以PM=PQ
所以AP平分∠BAC，即P在∠BAC的平分线上
2
设∠ABC=2x, ∠ACB=2y
则2x+2y+60°=180°，即x+y=60°
又∠PDC=∠BAD+∠ABD=60°+x=2x+y=∠ABC+∠BCE=∠PEA
又PM=PQ，∠PMB=∠PNA=90°
所以△PME≌△PND
所以ME=ND
所以BC=BM+CN=BE+EM+CD-DN=BE+CD=4+3=7

Answer 6

证明：
过点p作pm⊥ab，交ba的延长线于点m，作pn⊥ac于n，作pg⊥bc，交bc的延长线于点g
∵bd平分∠abc
∴∠abp＝∠cbp
∵pm⊥ab，pg⊥bc
∴∠pmb＝∠pgb＝90
∵bp＝bp
∴△bmp全等于△bgp
∴pm＝pg
∵ce平分∠acg
∴∠acp＝∠gcp
∵pn⊥ac，pg⊥bc
∴∠pnc＝∠pgb＝90
∵cp＝cp
∴△cnp全等于△cgp
∴pn＝pg
∴pm＝pn＝pg