如图,如图,△ABC的角平分线BD和CE交于点P。
求证:①点P在∠A的平分线上②若∠A=60°,BE=4,CD=3,求BC的长没图,请自己想象一下吧。注,AB≠AC...
求证:①点P在∠A的平分线上
②若∠A=60°,BE=4,CD=3,求BC的长
没图,请自己想象一下吧。注,AB≠AC 展开
②若∠A=60°,BE=4,CD=3,求BC的长
没图,请自己想象一下吧。注,AB≠AC 展开
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①证明:
P点到AB的距离等于到BC的距离(P在BD上 BD为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等)
P点到BC的距离等于到AC的距离(P在CE上 CE为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等)
所以P点到AB的距离等于到AC的距离
即P点在∠A的平分线上
②在BC上取一点Q 使CQ=CD 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD (i)
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE (ii)
将(ii)带入(i)中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+CE=7
P点到AB的距离等于到BC的距离(P在BD上 BD为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等)
P点到BC的距离等于到AC的距离(P在CE上 CE为角平分线 角平分线上的点到角的两段距离相等)
所以P点到AB的距离等于到AC的距离
即P点在∠A的平分线上
②在BC上取一点Q 使CQ=CD 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD (i)
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE (ii)
将(ii)带入(i)中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+CE=7
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1,三角形的三个内角平分线交于一点。p就是这一上,因为两条平分线已交于此,所以p在
∠A的平分线上
2,楼上回答有问题:修改如下
②在BC上取一点Q 使CQ=CD(这里是CD,不是CP) 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD (i)
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE (ii)
将(ii)带入(i)中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+BE(这里是BE不是CE)=7
∠A的平分线上
2,楼上回答有问题:修改如下
②在BC上取一点Q 使CQ=CD(这里是CD,不是CP) 又∠QCP=∠PCD CP=CP
所以△CPQ≌△CPD
所以∠CQP=∠CDP=180°-∠BDA=∠A+∠ABD
所以∠BQP=180°-∠CQP=120-∠ABD (i)
又因为∠A=60°
所以∠ABC+∠ACB=120°
又BD CE是角平分线
所以∠ABC=2∠ABD ∠ACB=2∠ACE
所以∠ABD+∠ACE=60° 即∠ABD=60°-∠ACE (ii)
将(ii)带入(i)中可知
∠BQP=60°+∠ACE
而∠BEP=180°-∠AEC=∠A+∠ACE
所以∠BEP=∠BQP
又∠DBC=∠ABD BP=BP
所以△BEP≌△BQP
所以BE=BQ
又CD=CQ
所以BC=CD+BE(这里是BE不是CE)=7
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过点P分别作三边的垂线段
由点P是角平分线BD,CE的交点
所以点P分别到角ABC,角BCA两边的距离相等,
得出点P到角BAC两边的距离相等
所以点P在角A的平分线上
由点P是角平分线BD,CE的交点
所以点P分别到角ABC,角BCA两边的距离相等,
得出点P到角BAC两边的距离相等
所以点P在角A的平分线上
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①连AP并延长交BC于F,
过P作PM⊥AB于M,
PN⊥AC于N,PH⊥BC于H,
由BD平分∠ABC,∴PM=PH,
同理:PH=PN,
得PM=PN,∴AP平分∠BAC,
即P在∠A的平分线上。
② ∵PM=PH,∠PB平分角ABC,PB是公共边,
∴△BEP≌△BFP
(
过P作PM⊥AB于M,
PN⊥AC于N,PH⊥BC于H,
由BD平分∠ABC,∴PM=PH,
同理:PH=PN,
得PM=PN,∴AP平分∠BAC,
即P在∠A的平分线上。
② ∵PM=PH,∠PB平分角ABC,PB是公共边,
∴△BEP≌△BFP
(
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1
连结PA
过P作PM,PN,PQ分别垂直于AB,BC,AC于点M,N,Q
因为BD,CE是角平分线,
所以PM=PN,PN=PQ
所以PM=PQ
所以AP平分∠BAC,即P在∠BAC的平分线上
2
设∠ABC=2x, ∠ACB=2y
则2x+2y+60°=180°,即x+y=60°
又∠PDC=∠BAD+∠ABD=60°+x=2x+y=∠ABC+∠BCE=∠PEA
又PM=PQ,∠PMB=∠PNA=90°
所以△PME≌△PND
所以ME=ND
所以BC=BM+CN=BE+EM+CD-DN=BE+CD=4+3=7
连结PA
过P作PM,PN,PQ分别垂直于AB,BC,AC于点M,N,Q
因为BD,CE是角平分线,
所以PM=PN,PN=PQ
所以PM=PQ
所以AP平分∠BAC,即P在∠BAC的平分线上
2
设∠ABC=2x, ∠ACB=2y
则2x+2y+60°=180°,即x+y=60°
又∠PDC=∠BAD+∠ABD=60°+x=2x+y=∠ABC+∠BCE=∠PEA
又PM=PQ,∠PMB=∠PNA=90°
所以△PME≌△PND
所以ME=ND
所以BC=BM+CN=BE+EM+CD-DN=BE+CD=4+3=7
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证明:
过点p作pm⊥ab,交ba的延长线于点m,作pn⊥ac于n,作pg⊥bc,交bc的延长线于点g
∵bd平分∠abc
∴∠abp=∠cbp
∵pm⊥ab,pg⊥bc
∴∠pmb=∠pgb=90
∵bp=bp
∴△bmp全等于△bgp
∴pm=pg
∵ce平分∠acg
∴∠acp=∠gcp
∵pn⊥ac,pg⊥bc
∴∠pnc=∠pgb=90
∵cp=cp
∴△cnp全等于△cgp
∴pn=pg
∴pm=pn=pg
过点p作pm⊥ab,交ba的延长线于点m,作pn⊥ac于n,作pg⊥bc,交bc的延长线于点g
∵bd平分∠abc
∴∠abp=∠cbp
∵pm⊥ab,pg⊥bc
∴∠pmb=∠pgb=90
∵bp=bp
∴△bmp全等于△bgp
∴pm=pg
∵ce平分∠acg
∴∠acp=∠gcp
∵pn⊥ac,pg⊥bc
∴∠pnc=∠pgb=90
∵cp=cp
∴△cnp全等于△cgp
∴pn=pg
∴pm=pn=pg
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