Question

高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题

，我的做法是：这里的sin^2x替换成等价的x^2,结果是lim0/x^4，0除以任何数都是0，另外用洛必达法则求，0/3x^2，0/6x,0/6.结果也是0.但是我看答案是1/3，它求的时候不是用等价无穷小替换sin^2x的。难道在这里不能用等价无穷小替换，我想知道为什么。

Answer 1

不行，那样做是不对的。那个式子本身就符合洛必达法则啊，0/0型么，你应该先求导，

Answer 2

你只看到分母，没有看到分子，所以是错误的
等价无穷小代换只用于连乘法与连除法的代换，不可以用于加法和减法的代换，
此题中
x^2-sin^2x是减法，不可以用等价无穷小代换的
正确的解法是
lim(x→0) (x^2-sin^2x)/x^4 (0/0)
=lim(x→0) (2x-2sinxcosx)/(4x^3)
=lim(x→0) (2x-sin2x)/(4x^3) (0/0)
=lim(x→0) (2-2cos2x)/(12x^2) (分子等价无穷小代换)
=lim(x→0) 2*[(2x)^2/2]/(12x^2)
=1/3