Question

如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。 求证：AF平分∠BAC。

Answer 1

最好的方法：∵BC=BC。∠ABC=∠ACB ∠BEC=∠CDB=90° ∴BEC全等BDC（AAS）
∴BE=DC ∵BE=DC ∠EFB=∠DFC（对顶） ∠BEC=∠CDB=90°
所以BEF全等 DCF 所以EF=FD 又因为AF到两条角边的距离一样（EF和FD）
所以AF是角BAC的平分线 所以AF平分∠BAC
你这样做，老师准夸你 ，这是你们那阶段学的内容，绝对的，我今年也才初三还没开学，所以你放心

Answer 2

AB=AC,AEC=ADB=90,CAE=CAE
所以三角形CAE全等于BAD
所以AE=AD，AF=AF，AEC=ADB=90
所以AEF全等ADF，所以EAF=DAF
当然你学过垂心就更好做，三角形三高交予一点，所以AF⊥BC，由AB=AC，证完了

Answer 3

解：因为AB=AC, AF=AF,且∠AEC=∠ADB =90度
所以三角形AEC全等于三角形ADB 则AE=AD
因为AE=AD, AF=AF,且∠AEC=∠ADB =90度
所以三角形AEF全等于三角形ADF 则∠EAF=∠DAF
所以AF平分∠BAC

Answer 4

证明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∴∠ECB=90°-∠ABC，∠DBC=90°-∠ACB．
∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．
∴FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
AB=ACAF=AFFB=FC​，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．

Answer 5

首先用角角边证△ABD与△ACE全等，再用HL证△AEF和△ADF全等，得到结论。