Question

已知函数f﹙x﹚=mx²-mx-1 若对于x∈[1,3],f﹙x﹚<5-m恒成立，求m的取值范围

Answer 1

解：
（此类题型当函数二次项含有参数的时候必须要考虑二次项系数为0的情况）
1.当m=0时
即-1<5显然恒成立，所以m=0满足要求；
2、当m≠0时
原不等式即：mx²-mx-1<5-m即m(x-1/2)²-5+m-m/4=m(x-1/2)²+3m/4-5<0
关于m的函数g(m)=m(x-1/2)²+3m/4-5,对称轴为x=1/2，顶点纵坐标为3m/4-5
（1）当m>0时，抛物线开口向上，因为对称轴x=1/2在区间[1,3]的左侧，则函数在该区间单调递增，此时只需g(3)<0即可，代入解得0<m<5/7
（2）当m<0时，抛物线开口向下，在[1,3]区间内为单调递减函数，此时只需g(1)<0即可
解得：m<5综合m<0得到m<0

综合1、2可知：m<5/7

学数学过程中遇到问题可加我qq:331740554

追问

额······怎么答案不一样

追答

不好意思是我写错！

解：
（此类题型当函数二次项含有参数的时候必须要考虑二次项系数为0的情况）
1.当m=0时
即-10时，抛物线开口向上，因为对称轴x=1/2在区间[1,3]的左侧，则函数在该区间单调递增，此时只需g(3)<0即可，代入解得0<m<6/7
（2）当m<0时，抛物线开口向下，在[1,3]区间内为单调递减函数，此时只需g(1)<0即可
解得：m<5综合m<0得到m<0

综合1、2可知：m<6/7

Answer 2

已知函数f﹙x﹚=mx²-mx-1 若对于x∈[1,3],f﹙x﹚<5-m恒成立，求m的取值范围
解析：∵函数f﹙x﹚=mx²-mx-1 若对于x∈[1,3],f﹙x﹚<5-m恒成立
设h(x)=f(x)-5+m=mx^2-mx+m-6<0
h(1)=m-6<0==>m<6
h(3)=9m-3m+m-6=7m-6<0==>m<6/7
取二者交
∴若对于x∈[1,3],f﹙x﹚<5-m恒成立，m的取值范围m<6/7

Answer 3

思路:用直接法或变量分离法均可
解：f﹙x﹚<5-m 即mx²-mx+m<6 也即m<6/(x^2-x+1) (变量分离）
故只需满足m不大于6/(x^2-x+1) 的最小值即可
而当x∈[1,3],不难知1<=x^2-x+1<=7
故6/(x^2-x+1) 的最小值为6/7
则m<=6/7