Question

设f(x)是定义域R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)等于-f(x),当x属于【0,2】时,f(x)=2x-x2;

(1)求证；f(x)是周期函数（2）当x∈【2，4】时，求f(x）的解析式（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+......+f(2011)

Answer 1

1.证明：因为f(x)=-f(-x) f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f【(x+2)+2】=-f(x+2)=f(x)
所以f(x)是周期为4的函数
2，因为奇函数f(x)=-f(-x) 当x∈【-2，0】时f(-x)=2(-x)-x2所以f(x)=x2+2x
有周期4 f(x-4)=f(x)当x∈【2，4】时x-4∈【-2，0】代入得f(x)=（x-4)2+2(x-4)化简
f(x)=x2-6x+8
3既是奇函数又是周期函数函数在一个周期上的积分为0.所以2011/4=502.75所以原式=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1