Question

已知a、b、c分别为△ABC的三边，试说明（a^2＋b^2－c^2）^2－4a^2b^2是一个负数

Answer 1

（a²＋b²－c²）²－4a²b²
＝（a²+b²-c²）²-(2ab) ²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b) ²-c²][(a-b) ²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
根据三角形两边之和大于第三边，则
a+b+c＞0,a+b-c＞0,a-b+c＞0,a-b-c＜0
则原式＜0
命题得证

Answer 2

证明：
a^2+b^2-c^2)-4a^2*b^2
=(a^2+b^2+2ab-c^2)(a^2+b^2-2ab-c^2)
=[(a+b)^2-c^2]*[(a-b)^2-c^2]
=[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)].
a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0,
即:[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)]<0,
(a^2+b^2-c^2)-4a^2*b^2<0.
即(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2为负数

Answer 3

证明：要证上式，
即证(a^2+b^2-2ab-c^2)·(a^2+b^2+2ab-c^2)<0
也就是证明[(a-b)^2-c^2]·[(a+b)^2-c^2]<0 (*)
因为abc为三角形三边，则有a+b>c即(a+b)^2>c^2
则要证明(*)式，只需证明(a-b)^2-c^2<0，也就是|a-b|<c，即b-c<a<b+c
而b-a<a<b+c明显成立。
所以命题成立