Question

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：
①f(x)在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把y=f(x)（x∈D）叫闭函数。
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f(x)=¾x+1/x（x＞0）是否为闭函数？请说明理由；
（3）若y=k+√(x+2)是闭函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

（1） -1≦x≦1 ，
（2）f(x)=¾x+1/x 什么意思？
（3） 为了使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，
那么x的值f(x)不能大于x，否则定义域内的b的f(b)比原来的b大，值域就会无限大。
k+√(x+2) ≤ x,解得k≦x -√(x+2),因为x ≧-2所以，k≦-2

Answer 2

（1）因为y=-x³==========》y'=-3x^2在定义上<=0是减函数
设区间为[a，b]===》-b^3=a,-a^3=b,用代入法得到a=-1，b=1
所以在区间[a，b]=[-1,1]
（2）
f(x)=¾x+1/x===>f'(x)=3/4-1/x^2,有大于0也有区间小于0（请你自己求），专业就不满足①条件就不是闭函数
（3）y=k+√(x+2）====》y‘=1/（2√(x+2)）因为x+2>0==x>-2,y‘=1/（2√(x+2)）>=0,是增函数
他要有区间满足②
因为是增函数所以,最小值在最小取值上取到，最大值也一样，a=k+√(a+2），将k移过去两边平方得到（a-k）^2=a+2
打开括号，因为要满足②，也就是方程要有解，方程的的判别式>0