Question

当m取何值时，一元2次不等式mx^2+(m-1)x+m<1对任意实数x都成立？

求详细的解题过程

Answer 1

移项，得
mx²+(m-1)x+(m-1)<0
m≠0时，原式才是一元二次不等式
若要mx²+(m-1)x+(m-1)<0对任意实数x都成立，则必有
抛物线y=mx²+(m-1)x+(m-1)开口向下且与x轴没有交点
∴m<0, 且△<0
即m<0, 且(m-1)²-4m(m-1)<0
m<0, 且(m-1)(m-1-4m)<0
m<0, 且(m-1)(3m+1)>0
m<0, 且m<-1/3或m>1∴m<-1/3为所求

Answer 2

mx^2+(m-1)x+m<1对任意实数x都成立，即mx^2+(m-1)x+m-1<0对任意实数x都成立，根据画图，即函数开口向下，且与x轴没有交点，也就是说，△<0，所以列才出方程不等式
m<0
△=(m-1)^2-4m(m-1)<0这个式子解出m<-1/3或＞1
但是上面m<0
所以做种答案m<-1/3

Answer 3

解：mx^2+(m-1)x+m<1
即mx^2+(m-1)x+m-1<0
若要对任意x都成立，即二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1与x轴没有交点，且开口向下
所以m<0
△=b^2-4ac=(m-1)^2-4m(m-1)<0
解得：m<-1/3

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