Question

求解数学题，高分悬赏~~~~~过程完整

已知正方形ABCD和正方形AEFG，联结CF，P是CF的中点，联结EP、DP．（1）如图11，当点E在边AB上时，试研究线段EP与DP之间的数量关系和位置关系；（2）把（1）中的正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转90°，试在图12中画出符合题意的图形，并研究这时（1）中的结论是否仍然成立；（3）把（1）中的正方形AEFG绕点A任意旋转某个角度（如图13），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中的结论是否仍然成立．

图上那两条辅助线去掉，我们老师说还有更简便的方法，三张图都可以用同一个方法
好像是要延长EP，使EP=PM。。。。。。。联结CM。。。。。然后忘了

Answer 1

1)

DP,EP的关系：DP=EP,DP⊥EP

理由，延长EP,BP交于点H,连DH,DE,

因为EF∥BC

所以∠FEP=∠CHP,∠EFP=∠HCP

又FP=PC

所以△EFP≌△HCP

所以EP=HP,EF=HC,

因为AD=CD,∠A=∠DCH=90,

所以△DAE≌△DCH

所以DE=DH,

所以△DEH是等腰三角形

所以DP⊥EH,

即DP⊥EP,

因为△DAE≌△DCH

所以∠ADE=∠CDH,

又DP是等腰三角形EDH底边上的高

所以∠EDP=∠PDH

所以∠EDP=∠ADE+∠PDC=∠ADC/2=45

所以△EDP是等腰直角三角形

所以DP=EP

 

2)

 

DP,EP的关系：DP=EP,DP⊥EP

理由，延长EP交CD于点H,

因为EF∥BC

所以∠FEP=∠CHP,∠EFP=∠HCP

又FP=PC

所以△EFP≌△HCP

所以EP=HP,EF=HC,

因为AE=EF

所以AE=HC,

因为AD-AE=CD-HC

即DE=DH,

因为EP=HP

所以DP⊥EH,∠EDP=∠HDP=∠EDC/2=45

所以△DEP是等腰直角三角形

所以DP=EP

 

3)旋转角度为a，仍然成立，

过C作CH∥EF,交EP的延长线于点H,连DH,

过F作FM⊥AD,垂足为M,

先证△EFP≌△CHP

所以EP=HP,EF=HC,∠EFP=∠HCP,

因为EF=AE

所以AE=HC,

又AD=DC

下证∠DAE=∠DCH(重点内容)

设AD,EF交于点N,

在△FMN和△AEN中，

∠FMN=∠AEN=90,∠FNM=∠ANE

所以180-(∠FMN+∠FNM)=180-(∠AEN+∠ANE)

即∠MFN=∠EAN

因为HC∥FE

所以∠EFP=∠HCP,

因为DC∥FM

所以∠PFM=∠PCD

所以∠EFP-∠PFM=∠HCP-∠PCD

即∠MFN=∠HCD

所以∠EAD=∠HCD

所以△ADE≌△CDH（SAS）

所以DE=DH,

下面就和前面的一样了

Answer 2

解：（1）∵△DPA≌△BEA，
∴BE=DP，
延长DP交BE于H，可证△DHE∽△DAP，即可证得DF⊥BE；
BE=DP，DP⊥BE．（2分）
（2）成立．（3分）
证明：连接BE、DF，延长DP交AB、BE于点M、N．
在△APD和△AEB中，
∵AD=AB，∠DAP=∠BAE，AE=AF，
∴△APD≌△AEB，
∴BE=DP，（6分）
在△ADM和△NBM中，
∵△APD≌△AEB，
∴∠ADP=∠NBM，
∵∠AMD=∠NMB，
∴∠DAM=∠MNB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAM=∠MNB=90°；
即DP⊥BE．（9分）
（3）成立．
证明：根据旋转的性质可得，∠EAB=∠PAD，
又∵EA=PA，PD=EB，
∴△DPA≌△BEA，
可得，BE=DP．
又因为△DRQ∽△BAQ，
故∠DRB=∠DAB=90°，
DP⊥BE．（10分）