Question

初三数学题：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE。

初三数学题：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G。(1)若BF/FC=1/3，求DG/GF的值；(2)联结AG，在(1)的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；(3)联结AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长。

Answer 1

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Answer 2

解：（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥御拦BC，
∴AM BC =AE EB ，且DG GF =DM CF∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴DG GF =6 3 =2．
（2）AG∥DC，且AG DC =2 3 ．
证明：∵AD∥BC，
∴MG GC =DG GF =2 1 ，
∵MA AD =4a 2a =2 1 ，
∴MG GC =MA AD ，
∴AG∥DC．
∴AG DC =MA MD =2 3 ．
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由AG DC =MA MD 得AG 3 =4 6 ，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴AG AD =DC CF ，即2 2 =3 CF ，
∴镇肆胡CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长雹团AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则AB BT =FC CD ，由AD∥BC得AD FT =DG GF =DM CF ，
设BF=x，可得FT=4-x 3 ，
∴3 x+4-x 3 =4-x 3 ，
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．