Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上中线且AD⊥BC,BE是AC边上中线且BE⊥AC.

（1）证明：△ABC是等边三角形;（2）DE=1/2AB对吗？请说明理由.

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Answer 1

（1）证明：因为AD是BC边上中线且AD⊥BC
所以RT△ABD和RT△ACD全等，那么∠ABD=∠ABC=∠ACD=∠ACB
因为BE是AC边上中线且AD⊥BC
所以RT△BCE和RT△ABE全等，那么∠BCA=∠BCE=∠EAB=∠BAC

所以∠ABC=∠ACB=∠BCA，又因∠ABC+∠ACB+∠BCA=180°
那么∠ABC=∠ACB=∠BCA=60°
所以△ABC是等边三角形
（2）DE=1/2AB是正确的。
证明：设F点为AB边的中点
由（1）知，△ABC是等边三角形，
那么△AFE和△CDE也是等边三角形，切它们全等（CE=AE=AF=CD，∠FAE=∠DCE=60°）。
那么DE=AF=1/2AB（AB//DE）
其实第二问就是一个定理，叫做三角形中位线定理，这个题中的DE就是△ABC的一条中位线。这个题的目的就是要你证明这个定理！

Answer 2

解：在RT△ADB和RT△ADC中
∵ BD=BD
∠ADB=∠ADC
BD=CD
∴RT△ABD≌RT△ADC（SAS）
∴AB=AC
同理可证 RT△AEB≌RT△AEC（SAS）得出AB=BC
∵AB=AC
AB=BC
∴AB=AC=BC
△ABC是等边三角形

（2）∵点D、E分别为边BC、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴DE//AB,DE=1/2AB

Answer 3

先用边角边定理证明三角形ABD与三角形ACD全等，所以AB=AC.
同理三角形BEC与三角形BEA全等，所以AB=BC
可得AB=AC=BC。即三角形ABC为等边三角形。
再证明三角形CED与三角形CAB相似，CE=1/2CA,所以DE=1/2AB