Question

已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},同时满足足A∩B≠空集，A∩CRB={-2}，（p·q≠0），求p,q的值

已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},同时满足足A∩B≠空集，A∩CRB={-2}，（p·q≠0），求p,q的值

Answer 1

集合A表示方程x²＋px＋q=0的根，集合B表示方程qx²＋px＋1=0的根，考虑到方程qx²＋px＋1=0可以化为：(1/x)²＋p(1/x)＋q=0，也就是说，假如m是方程x²＋px＋q=0的根，则：1/m肯定是方程(1/x)²＋p(1/x)＋q=0的根，也就是说：集合A中有个元素a的话，则1/a肯定在集合B中。
根据题意，－2在集合A中，则：－1/2必定在集合B中！！考虑到A∩B不是空集，则集合A和集合B中还应该有相同的元素，这个相同的元素：可能是1，也可能是－1
(1)若A={－2，1}，则：B={－1/2，1}，此时解得：p=1，q=－2；
(2)若A={－2，－1}，则：B={－1/2，－1}，此时解得：p=3，q=2

追问

可是为什么可以有 方程qx²＋px＋1=0可以化为：(1/x)²＋p(1/x)＋q=0，？

追答

在方程qx²＋px＋1=0的两边同除以x²，得：(1/x)²＋p(1/x)＋q=0
这样做的目的，就是使得这两个集合中的元素及相应的方程之间有一定的关系，这是解决这个题目的关键。

追问

如果x²等于0呢
我是这样做的，但是后来不会了
x=-2代入2+px+q=0得q=2p-4，
x²+px²+2p-4=0, →x₁=-p+2, x₂=-2
把x₁和q=2p-4带到集合B的那个方程中去，得到的是2p³-13p²+26p-15 =0 这样可以吗
但是我后面不知道怎么做了

追答

你怎么可以把这两个都代进集合B中去呢？？

追问

额？它原来的方程是qx2+px+1=0，用p来表示q, 再x=-p+2带入，这样是错的吗，我不知道耶

追答

集合A与集合B的交集不是空，未必要使得A中两个元素都在B中的啊。。

追问

也是哦，但是我没有把x=-2代入，代入的是另一个解，。。。。我只是新高一，、、都不是很懂。你的方法是很简便。。。

追答

1、现在知道这样的事实：若a在集合A中，在1/a一定在集合B中；
2、现在－2在集合A中了，那－1/2一定在集合B中；
3、集合A和集合B都有两个元素，现在已知它们的一个元素，分别是－2和－1/2；
4、另外A∩B不是空集，那这两个集合中余下的元素必须是一样的，也就是说：集合A中余下的是m的话，由于1/m一定在集合B中，则：
m=1/m
m²=1
m=1或m=－1
也就是说，这两个集合中，余下的元素要么都是1，要么都是－1

Answer 2

B中方程左右路两边同时除以x²，可知把A中元素取倒数，A集合即为B集合
故A∩B={1}或{-1}或{1,-1}，由另一个条件可知-2∈A，则A∩B不可能为{1,-1}
故可知
1，-2为方程x²+px+q=0的解
或-1，-2为方程x²+px+q=0的解
所以p=1,q=-2或p=3,q=2