Question

初三数学题：已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B，C两点（点B在点C的左边）。

初三数学题：已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B，C两点（点B在点C的左边），P为它的顶点。在y轴的正半轴上是否存在M，使△PCM为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

二次函数y=1/2x^2-x+m的图像经过点A（-3，6）
得m = -3/2
所以解析式：y = 1/2x^2 - x - 3/2
得：B(-1 ,0) ，C(3 ,0) ,P(1 ,-2)
线段AC的斜率:K(AC)=(0-6)/(3+3) = -1
线段PC的斜率:K(PC)=(0+2)/(3-1)=1
线段PB的斜率:K(PB)=(0+2)/(-1-1)=-1
所以 K(AC)·K(PC) = -1 = K(PC)·K(PA)
即PC⊥AC ，PC⊥PB ，PB//AC
易证 PB = PC
故△BPC是以P为顶点的等腰直角三角形
所以∠PCB=45°=∠ACB
在△ABC中 ，由正弦定理 ，BC/sin∠BAC = AB/sin∠ACB
得：sin∠BAC = 1/√5
所以 （sin∠BAC）^2 = 1/5

设D(t ,0) ,DP^2 = (t -1)^2 + 4 ,CD = 3 -t ,∠PCB = 45°
在△PCD中利用正弦定理可得：（sin∠DPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8]

当∠DPC = ∠BAC时
则（sinBAC）^2 = sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] = 1/5
解方程得：t = 7 或 5/3
因D在OC上 ，故t∈（0 ，3），
所以 t = 5/3
故D（5/3 ，0），K(AD) = (6-0)/(-3 - 5/3) = -9/7 ，
所以AD的解析式为y=(9x+15)/7

Answer 2

过点A（-3，6）
得m = -3/2
所以解析式：y = 1/2x^2 - x - 3/2
得：B(-1 ,0) ，C(3 ,0) ,P(1 ,-2)
AC斜率:K(AC)=(0-6)/(3+3) = -1
PC斜率:K(PC)=(0+2)/(3-1)=1
PB斜率:K(PB)=(0+2)/(-1-1)=-1
所以 K(AC)·K(PC) = -1 = K(PC)·K(PA)
即PC⊥AC ，PC⊥PB ，PB//AC
证 PB = PC
故△BPC是以P为顶点的等腰直角三角形
所以∠PCB=45°=∠ACB
在△ABC中 ，由正弦定理 ，BC/sin∠BAC = AB/sin∠ACB
得：sin∠BAC = 1/√5
所以 （sin∠BAC）^2 = 1/5

设D(t ,0) ,DP^2 = (t -1)^2 + 4 ,CD = 3 -t ,∠PCB = 45°
在△PCD中利用正弦定理可得：（sin∠DPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8]

当∠DPC = ∠BAC时
则（sinBAC）^2 = sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] = 1/5
解方程得：t = 7 或 5/3
因D在OC上 ，故t∈（0 ，3），
所以 t = 5/3
故D（5/3 ，0），K(AD) = (6-0)/(-3 - 5/3) = -9/7 ，
所以AD的解析式为y=(9x+15)/7

Answer 3

解：不难算出顶点是P（1，-2），B（-1，0），C（3，0）
设对称轴与X轴交与点D，则有CD=2，PD＝2，OD＝1。在RT△PDC中，CD=2，PD＝2，所以PC＝2√2，要使△PMC是等腰三角形，有PM＝PC，PM＝CM，PC＝CM三种可能。
下边进行分类讨论：
①当PM＝PC时有PM=PC=2√2，过M做MN⊥对称轴，垂足为N，则有MN=OD=1，在RT△PNM中，MN=1，PM=2√2，所以PN=√7，所以ND=PN-PD=√7-2，所以M1的坐标是（0，√ 7-2）
②当MP=MC时，直线PC的解析式设y=kX+b,因为P（1，-2）,C（3，0）,所以直线PC的解析式是y=x-3, 因为MP=MC，所以M在PC的垂直平分线上，过M做PC的垂线，垂足为E，不难求出E的坐标为PC的中点，坐标是（2，-1）则直线ME的解析式设为Y=KX+B，因为ME和PC垂直，所以Kk=-1,K=-1。因此ME的解析式设为Y=KX+B中K=-1且过E（2，-1），所以ME的解析式为Y=-X+1，此时M为直线ME
与Y轴的交点，坐标为（0，1）.
③当PC＝CM时，此时PC＝2√2，而CO=3，此时CM与Y轴无交点，所以PC＝CM的M点不存在。
以上是我的拙见，若有不到之处，敬请提出再商榷！