Question

已知圆C：x^2+（y-1）^2=5，直线L：mx-y+1-m=0 （1）求证：m∈R时，直线L与圆C恒有两个不同的焦点。（2...

已知圆C：x^2+（y-1）^2=5，直线L：mx-y+1-m=0 （1）求证：m∈R时，直线L与圆C恒有两个不同的焦点。（2）求直线L被圆c截得弦长最小时的方程

Answer 1

(1)因为
mx-y+1-m=0
m(x-1)-y+1=0
所以直线恒过（1,1）点
而
1+（1-1）²=1<5
所以
（1,1）在圆内部，所以直线L与圆C恒有两个不同的交点。
（2）
最小的弦长，即直线垂直于（1,1）与圆心（0,1）的直线时，所得的弦长
（1,1）与圆心（0,1）的斜率=(1-1)/(0-1)=0

所以
mx-y+1-m=0的斜率和刚才连线互为倒数，即斜率不存在时

所以
m=0
即直线为y=1

Answer 2

把直线方程代入圆的有X^2+m^2*(X-1)^2=5；求它的判别式△=-4*（1+m^2)*(m^2-5)+4m^4=16m^2+20>0是恒成立的
所以方程有两不相等实根所以横有两个不同交点；方程（1+m^2)x^2-2m^2x+m^2-5=0,设园与直线交点为A，B坐标为（x1,y1),(x2,y2) ;AB^2=(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2=((X1+X2)^2-4X1X2)(m^2+1)。。。1；x1x2=(m^2-5)/(1+m^2):x1+x2=2m^2/(1+m^2)将这两个式子代入一式令m^2=x>=0最后根据二次函数求解

Answer 3

解：圆C是以O点为圆心（圆心0.1），经过（-2，0）（2.0）的圆
直线L 是经过点（1.1）的直线

弦长最小时：此时直线平行于Y轴，M=0，直线为 Y=1

Answer 4

证明：
将y=mx+1-m代入到圆中
有x^2+（mx-m)^2=5
x^2+（m^2）（x^2）-2（m^2）x+m^2=5
则(m^2+1)（x^2）-2（m^2）x+m^2-5=0
又m^2+1恒大于0
则△=16m^2+20
是恒大于0 的
如果直线与圆有两个根，则△是大于0的
命题得证