Question

已知函数f(x)=a/x+lnx-1,a∈R,若函数y=f(x+1/2)在x∈[0,e]上有两个零点,求实数a的取值范围。

如题，要过程。

Answer 1

f'(x)=-a/x²+1/x=(x-a)/x²
所以f(x)在x<a时递减，x>a时递增，x=a处达到最小值f(a)=lna

y=f(x+1/2)在[0,e]上有两个零点
说明f(x)在[1/2,e+1/2]上有两个零点

则首先a∈[1/2，e+1/2]，否则f(x)在[1/2，e+1/2]上单调，不可能有两个顶点
然后一定有f(a)<0,f(1/2)≥0,f(e+1/2)≥0

即ln a<0……得到a<1
2a+ln(1/2)-1≥0……得到a≥(1+ln2)/2
a/(e+1/2)+ln(e+1/2)-1≥0……由于ln(e+1/2)>lne=1所以这个不等式恒成立

所以有(1+ln2)/2≥a<1

Answer 2

试试吧，！后为注释内容：
令u=x+1/2 则 y=f(u)=a/u+lnu-1,u∈[1/2,1/2+e] !注释：就是简化一下，要不写的麻烦
！函数有两个零点，则意味着，函数在这个区间中包含一个单调增和一个单调减，否则，最多过一
!个零点，研究它的单调性，求导函数
则y'=-a/u^2+1/u=1/u * (1-a/u),
!1/u恒正，则函数的单调性只依赖（1-a/u）的 正负取值，由上分析可得（1-a/u）在区
!间u∈[1/2,1/2+e] 中必然存在（1-a/u）max *（1-a/u）min <0，而（1-a/u）在最大值和最小值
!必然在1/2和1/2+e取得（具体谁是最大值，谁是最小值由a的值决定，暂时可不考虑）
得：（1-a/(1/2)） * (1-a/(e+1/2)) <0
整理得：（a-1/2）* （a -(2e+1)/2）<0
得a∈（1/2,1/2+e） ！a在这个区间里才有可能有两个零点
！开始考察当a属于这个区间时，函数的两个端点值和驻点值：
y(1/2)=2a+ln(1/2)-1;
y(驻点)=ln(a) !令y'=0，可得函数驻点为u=a
y(1/2+e)=a/(1/2+e)+ln(1/2+e)-1 !易判断其恒大于0
!则两个零点意味着,另一端点值也大于0，而驻值<0
即2a+ln(1/2)-1>0
lna <0
得 a∈[1/2+ln2 / 2,e）

!!!分析应该没问题，计算过程你再核实一下 ：算错了 lna<0 得 a<1
答案是a∈[1/2+ln2 / 2,e）