Question

已知函数f(x)=-x²+ax-lnx（a∈R），当函数f(x)在(1/2,2)上单调是，求a的取值范围。

如题，过程。

Answer 1

要判断单调性，利用函数的导数
f'(x)=-2x+a-1/x
由于f(x)在(1/2,2)上单调
所以f'(x)在(1/2,2)上恒为非正或恒为非负

那么，我们需要找到f'(x)=-2x+a-1/x在(1/2,2)上的值域
可以利用均值不等式或者再求导来解决，这里再求导
f''(x)=-2+1/x²
可以看出，f''(1/2)>0然后f'‘(√2/2)=0，之后＜0
即f'(x)先增加，在√2/2达到最大，然后再减小
所以f'(x)最大值为f'(√2/2)=a-2√2
f'(1/2)=a-3，f'(2)=a-9/2所以f'(x)最小值为f'(2)=a-9/2

所以f'(x)恒非负的话，a-9/2≥0
f'(x)恒非正的话，a-2√2≤0
所以a的取值范围为a≥9/2或者a≤2√2