Question

一道关于椭圆的数学题，急！！！

已知椭圆C:x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0)的离心率为1/2,短轴长为4。
点p是椭圆上的动点，点M,N在y轴上，圆（x-1)*2+y*2=1内切于△PMN，求△PMN面积的最小值。

Answer 1

由已知易得椭圆方程为
3x²/16+y²/4=1
令P(x1,y1)
设直线 PM：yM-y1=k1(x-x1)
则有|k1+y1-k1x1|/√(k²+1)=1
化解得(x1²-2x1)k1²+2(1-x1)k1y1+y1²-1=0………………①
令PN的斜率为k2，同理可得
(x1²-2x1)k2²+2(1-x1)k2y1+y1²-1=0………………②
由伟达定理带入两式解得PM：yN-y1=k1x1,PN:yM-y2=k2x2
则面积
S=1/2*|yM-yN|x1
带入①②可得
S=2/(x1-2)-(x1-2)/2
又x1∈[-4√3/3,4√3/3],当x=4√3/3时
Smin=(12+4√3)/3

为了苏维埃的荣耀，不懂再问

追问

由伟达定理带入两式解得PM：yN-y1=k1x1,PN:yM-y2=k2x2 怎么来的？
则面积
S=1/2*|yM-yN|x1 △PMN面积公式是这样吗？

追答

PM：yN-y1=k1x1,PN:yM-y2=k2x2 是因为yN和yM过定点(x1,y1)得到的，
因为伟达定理可以得到k1+k2和k1k2的值
根据(k1-k2)=√[(k1+k2)²-4k1k2]
带入yM-yN=(k1-k2)x1可将yM-yN化为4/x1(x1-2)-(x1-2)/x1
再带入原式就可得到S=2/(x1-2)-(x1-2)/2

S=1/2*|yM-yN|x1 是根据三角形面积公式底*高/2得到的

Answer 2

长轴长2a=4,a=2
离心率e=c/a=1/2,c=1
b=√3
椭圆方程为：x²/4 + y²/3 =1
剩下的要画图才能和你说

Answer 3

题目太复杂 去问老师吧

Answer 4

答案是12吗？我的方法太丑陋，需要再写。

Answer 5

做题要讲究方法、思路
此题思路是如何用表达式把三角面积表达出来，表达出来后套用公式，求出关于这个公式的最小值，剩下的最好你自己分析解答出来
要是都给你写了你什么也得不到，下次遇到类似题你还不会，
祝你成功