Question

定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。已知曲线C1：y=x^2+a 到直线L1：y=x

的距离等于曲线C2：x^2+（y+2）^2=2到直线L1的距离，则实数a=？

Answer 1

L1: x - y =0

C2为以C(0, -2)为圆心，半径为√2的圆，C到直线L1的距离为d = |0 - (-2)|/√2 = √2, 与半径相等, 即L1与圆相切, 圆与L1距离=0

所以C1也与L1相切, 将y = x代入y = x² + a:

x² - x + a = 0

此方程只有一个根, (-1)² -4a = 0

a = 1/4

Answer 2

据距离公式d=Ix-yI/根号2 且y=x^2+a
所以 d=Ix-x^2-aI/根号2 因为曲线C1与L有距离 所以C1与L无交点
当C1与L恰好无交点时 X^2+a=x中 Δ<0 即a>1/4
所以x-x^2-a中Δ<0 所以x-x^2-a恒为负
另一方面 C2与L的距离为 D=I0-(-4)I/根号2-R=2根2-根2=根2
所以d=Ix-x^-aI/根2=根2 由定义得 当且仅当X=1/2时 d为距离
解得a1=9/4 a2=-7/4（舍去）
所以a=9/4