Question

设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B，当实数p,q满足1/p+1/q=1时，

则连接pOA,qOB两个向量终点的直线是否通过一个定点？并证明你的结论。

Answer 1

不妨以o作为坐标平面原点，oa为x轴，则设A的坐标为（a，0） B的坐标为（b，c）向量p*oa的终点为A',向量q*ob的终点为B' 则A'的坐标为（ap，0),B'的坐标为（bq,cq) A'B'直线方程为：y＝(x－ap)*cq/(bq-ap) 对此方程进行变形： y＝(x-ap)*c/(b-ap/q) 1/p+1/q=1，两边同时乘以p得：1＋p/q=p 即p/q=p-1 代入方程得：y=c(x-ap)/[b-a(p-1)]=c(x-ap)/(a+b-ap) =c[a+b-ap+x-(a+b)]/(a+b-ap) =c+c(x-a-b)/(a+b-ap) 显然，此方程过定点（a+b,c)

Answer 2

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