Question

三角形ABC的三边a，b，c和面积满足S=c^2-(a-b)^2，且a+b=2，求面积S的最大值

高一暑假作业里的~~求高手~

Answer 1

解答：
S=(absinC)/2
c²-(a-b)²=c²-a²-b²+2ab=(absinC)/2
-2abcosC+2ab=(absinC)/2
∴ sinC=4(1-cosC),
∴ sin²C=16(1-cosC)²
∴ 1-cos²C=16-32cosC+16cos²C
17cos²C-32cosC+15=0
∴ (cosC-1)(17cosC-15)=0
∴cosC=15/17 (cosC=1时，C=0,舍）
∴ sinC=8/17

又∵ 2=a+b≥2√ab
∴ ab的最大值为1，当且仅当a=b=1时等号成立
S=(absinC)/2
∴ S的最大值为(1/2)sinC=4/17

Answer 2

解：S=c²-(a-b)²
=c²-(a²+b²)+2ab
根据面积公式S=1/2ab*sinC
根据余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/2ab
∴1/2absinC=2ab-2ab*cosC
∴sinC+4cosC=4
又sin²C+cos²C=1
解得cosC=1(舍去)或cosC=15/17
∴S=2ab(1-cosC)
=4/17*ab
∵ab≤(a+b)²/4=1
∴S≤4/17.
∴面积S的最大值 为4/17.

Answer 3

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追问

过程有么~~

追答

我用S=0.5*absinC,余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，ab≤0.5(a^2+b^2)做出来的(余弦定理用向量证）
0.5absinC=a^2+b^2-2abcosC-a^2-b^2+2ab
=2ab-2abcosC
0.5sinC+2cosC=2 →sinC+4cosC=4设sinp=√(16/17),有:sin(p+C）=sinC不妨令p＜0.5π,则
2p=π-C,sinC=sin2p=4/17,S≤2/17