Question

将（图）展开成x-1的幂级数。

将展开成x-1的幂级数。

Answer 1

f(x)=1/(x^2+4x+3)
=1/(x+1)(x+3)
=1/((x-1)+2)((x-1)+4)
换元t=x-1
f(x)=1/(t+2)(t+4)
=(1/2)*[1/(t+2) - 1/(t+4)]

1/(t+2)=(1/2)*∑(n=0,∞) (-t/2)^n，t∈(-2,2)
1/(t+4)=(1/4)*∑(n=0,∞) (-t/4)^n，t∈(-4,4)

那么，
f(x)=(1/2)*[1/(t+2) - 1/(t+4)]
=(1/2)*[(1/2)*∑(n=0,∞) (-t/2)^n - (1/4)*∑(n=0,∞) (-t/4)^n]
=(2/8)*∑(n=0,∞) (-1/2)^n * t^n - (1/8)*∑(n=0,∞) (-1/4)^n * t^n
=(1/8)*∑(n=0,∞) (-1)^n * (2^(1-n)-4^n) * t^n
=(1/8)*∑(n=0,∞) (-1)^n * (2^(1-n)-4^n) * (x-1)^n，x∈(-1,3)
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