Question

无穷级数，求函数敛散性，求解题过程

这个题的敛散性怎么求？（收敛）

Answer 1

用达朗贝尔判别法吧……设这个数列是a[n]，用a[n+1]/a[n]再n→∞取极限，看看比值和1的关系，如果比1大此级数相当于一个公比大于1的等比级数，必然发散；如果比1小，相当于无穷递缩等比级数就收敛；如果等于1还要进一步判断。由于sin后面的分母是2^n(2的n次方)，因此这个除法比较好做，可以用2倍角公式。

a[n]=n² sin(π/2^n)，a[n+1]=(n+1)² sin(π/2^(n+1))
所以a[n+1]/a[n]=(1+1/n)² sin(π/2^(n+1))/sin(π/2^n)
用2倍角公式sin(π/2^n)=2 sin(π/2^(n+1)) cos(π/2^(n+1))
于是约去sin(π/2^(n+1))，a[n+1]/a[n]=0.5 (1+1/n)² 1/cos(π/2^(n+1))
再取极限，n趋近于无穷大，显然这个比值趋近于0.5<1因此级数是收敛的。