Question

求解 解三角形问题：在△ABC中，A,B,C对边分别是a,b,c，已知3acosA=ccosB+bcosC

问：若a=1 cosB+cosC=（2根号3）3，求边c的值

我只算出cosA=1/3 下面就不知道怎么做了 求指点~

Answer 1

因为：3acosA=ccosB+bcosC

所以，3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
cosA=1/3
cosB+cosC=cos[(B+C)/2+(B-C)/2]+cos[(B+C)/2-(B-C)/2]
=2cos(B+C)/2cos(B-C)/2=2sinA/2cos(B-C)/2=2√3/3
sinA/2cos(B-C)/2=√3/3
又因为：
1/3=cosA=1-2sin^2(A/2)==>sinA/2=√3/3
所以cos(B-C)=1==>B=C
取BC中点M点，在RT三角形ABM中，
sinA/2=BM/c=(1/2)/c = √3/3
==>c=√3/2

Answer 2

cosB+cosC是什么没看懂，就记作d
算出cosA=1/3之后，
cos(B+C) = -1/3，cosB cosC - sinB sinC = -1/3
等式两边乘2，两边再加2=sin方A + cos方A + sin方B + cos方B
配方，(cosB + cosC)^2 + (sinB - sinC)^2 =4/3
带入已知值，得(sinB - sinC) = 根号(4/3 - d^2)，这里注意到，从已知看B和C是对称的，暂设sinB大
由cosA=1/3可以算出外接圆直径2R=a/sinA=3/4*根2
则b-c = 2R(sinB - sinC)
用余弦公式，cosB + cosC = (1+c^2-b^2) / (2c) + (1+b^2-c^2) / (2b) = d
通分，d = ( b + b(b+c)(c-b) + c + c(b+c)(b-c) ) / (2bc)
= 2(b+c)(1-(b-c)^2) / ( (b+c)^2 - (b-c)^2 )
d已知，b-c已知，从上式就能把b+c解出来
b+c和b-c都知道就能得到b和c了
再把这里b和c的值对调，一共得到两种解（因为之前暂设sinB>sinC）