Question

设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），利润函数为L(x,y)=6x-x²+16y

设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），利润函数为L(x,y)=6x-x²+16y-4y²-2。已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料2000kg，现有原料12000kg。并假设原料全部用完，两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？要有解题过程啊正在补考急用

Answer 1

由题设知 x+y=6 将y=6-x带入利润函数得
L(x,y)=6x-x²+16y-4y²-2=6x-x²+96-16x-4(36-12x+x²)-2
=-5x²+38x-50
所以当x=19/5 y=11/5时 利润最大为111/5

Answer 2

解：由题知，共可以生产6000件产品。即x+y=6000.
故利润函数为
l（x）=6x-x^2+16*（6000-x）-4（6000-x）^2-2
整理即可得关于x的一元二次函数。

Answer 3

解：因为已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料2000kg，现有原料12000kg
所以 生产甲乙两种产品的总数量为12000/2000=6千件，即x+y=6

所以 根据利润函数L(x,y)=6x-x²+16y-4y²-2，其约束函数是：x+y=6
所以 构建拉格朗日函数：L（x,y）=6x-x²+16y-4y²-2+λ(6-x-y)

令：dL/dx=6-2x-λ=0
dL/dy=16-8y-λ=0
dL/dλ=6-x-y=0

解得：x=19/5,y=11/5

所以最大利润L=6x-x²+16y-4y²-2=-(x-3)^2-4(y-2)^2+23=588/25