Question

已知点P(x,y)是圆x^2+y^2+2x-2√3 y=0上一个动点 求(1）x+y的最小值（2）x^2+y^2的最大值

说明过程

Answer 1

将圆的方程x²+y²+2x-2√3y=0配方，得(x+1)²+(y-√3)²=4，
设P(2cosα-1，2sinα+√3)，即x=2cosα-1，y=2sinα+√3，
(1)x+y=2cosα-1+2sinα+√3=2√2sin(α+π/4)-1+√3，
当sin(α+π/4)=-1时，(x+y)min=-2√2-1+√3。
(2)x²+y²=(2cosα-1)²+(2sinα+√3)²=4cos²α-4cosα+1+4sin²α+4√3sinα+3=8sin(α-π/6)+8，
当sin(α-π/6)=1时，(x²+y²)max=16。

Answer 2

(1)设Z=x+y,则y=-x+Z，这样可以看成是一次函数与y轴的交点，交点为（0，Z),这样用数形结合，直线与圆相交时，移动直线，看什么时候直线与y轴交点最小。
(2）设Z=x^2+y^2,把他看成圆x^2+y^2+2x-2√3 y=0上的点到(0,0)的距离的平方，因为Z=x^2+y^2可由（x,y)到（0,0）的距离公式变形得到，之后用数形结合的方法可得。
相信你能做出来，祝你学习愉快。

追问

这倒是一种方法，不过好像有点繁琐
有没有更简单的方法?如果方程中带字母（字母为常数），那不是要拿砖拍头了？

追答

还可以用三角换元

追问

你是指用参数吗？能帮我解解看吗？

追答

圆是（x+1)²+(y-√3）²=4，把4除过去后令（x+1)／2=cosa,(y-√3)／2=sina,a∈[0,2π]，然后将x用cosa表示，将y用sina表示，然后用辅助角公式可解