Question

一道线性代数题：（要过程） D5= 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a

Answer 1

解法1: 行列式展开定理+递归的方法
D5 =
所有列加到第1列
1 a 0 0 0
0 1-a a 0 0
0 -1 1-a a 0
0 0 -1 1-a a
-a 0 0 -1 1-a
按第1列展开
D5=D4+(-1)^7a^5
=D3+(-1)^6a^4-a^5
=D2+(-1)^5a^3+a^4-a^5
=D1+(-1)^4a^2-a^3+a^4-a^5
=1-a+a^2-a^3+a^4-a^5.

解法2. 只用行列式的性质与定义
1-a a 0 0 0
-1 1-a a 0 0
0 -1 1-a a 0
0 0 -1 1-a a
0 0 0 -1 1-a

依次作: r1+r2+r3+r4+r5, 所有行加到第一行, 以下类似
r2+r3+r4+r5, r3+r4+r5, r4+r5
-a 0 0 0 1
-1 -a 0 0 1
0 -1 -a 0 1
0 0 -1 -a 1
0 0 0 -1 1-a

依次作: r4-ar5, r3-ar4, r2-ar3, r1-ar2
0 0 0 0 1-a+a^2-a^3+a^4-a^5
-1 0 0 0 1-a+a^2-a^3+a^4
0 -1 0 0 1-a+a^2-a^3
0 0 -1 0 1-a+a^2
0 0 0 -1 1-a

由行列式的定义得
D = (-1)^t(51234) * (1-a+a^2-a^3+a^4-a^5) *(-1)(-1)(-1)(-1)
= 1-a+a^2-a^3+a^4-a^5.