Question

计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω由z=根号x^2+y^2与z=1围成的闭区域。

Answer 1

z=√（x^2+y^2)是一个上锥面的漏斗形，在XOY平面投影是由x^2+y^2=1所围成，
转换为柱面坐标，0≤r≤1,0≤θ≤2π，r≤z≤1
I=∫∫∫[Ω]zdzdydx
=∫[0，2π]dθ∫[0，1] rdr∫[r,1]zdz
=∫[0，2π]dθ∫[0，1](1/2(1-r^2) rdr
=(1/2)∫[0，2π]dθ∫[0，1](r-r^3)dr
=(1/2)∫[0，2π][0,1](r^2/2-r^4/4)dθ
=(1/2)∫[0，2π](1/4)dθ
=(1/8)*2π
=π/4。