Question

利用柱面坐标计算三重积分∫∫∫zdv，其中Ω是由曲面z=√2-x^2-y^2及z=x^2+y^2所围成的区域

要详细过程

Answer 1

z＝x^2+y^2不是圆柱体，而是旋转抛物面。是一个开口向上的抛物面，将xz平面的抛物线z＝x^2绕z轴旋转一周得到的就是旋转抛物面z＝x^2+y^2。

积分区域你画图就知道，是夹在上半球面z＝根号(2－x^2－y^2)和z＝x^2+y^2之间的部分，

两曲面的交线是x^2+y^2＝1，因此D＝{(x，y)：x^2+y^2<=1}，

对固定的某个(x，y)，z的范围是从x^2+y^2到根号(2－x^2－y^2)，因此积分值

＝二重积分_D dxdy *积分（从x^2+y^2到根号(2－x^2－y^2）zdz

结果：∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1     上，计算 定积分{π* ∫∫ [(2-r^2) - r^4 ]rdr= 在 0<=r <= 1     上，计算 定积分{π* ∫∫ (2r-r^3 - r^5 )dr=π*(1- 1/4 - 1/6) =7π/12。

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

以上内容参考：百度百科-三重积分

Answer 2

首先，z=x^2+y^2是旋转抛物面，而不是圆柱面。 可求得：z=x^2+y^2与球面的交线到XOY面的投影柱面为:x^2+y^2 =1，故三重积分的积分域可表达为: x^2+y^2<=1，   x^2+y^2 <=  z  <=√(2-x^2-y^2)。

按此计算三重积分，宜用如下积分顺序:( 可避免分割区域) ∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1  上，计算二重积分{ ∫∫ [ 从x^2+y^2 到  √(2-x^2-y^2).求 定积分 ∫z dz ] }dxdy，即先作一个定积分， 而后作一个二重积分。

将定积分求出后，得：∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1  上，计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-x^2-y^2) -( x^2+y^2)^2 ]dxdy。

用极坐标，计算二重积分：∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 ，  0<= θ<= 2π  上，计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-r^2) -(r^2)^2 ]rdrdθ，得：(对θ 积出)∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1上。

结果：∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1     上，计算 定积分{π* ∫∫ [(2-r^2) - r^4 ]rdr= 在 0<=r <= 1     上，计算 定积分{π* ∫∫ (2r-r^3 - r^5 )dr=π*(1- 1/4 - 1/6) =7π/12。

 扩展资料

题目分析：

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}。

在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

Answer 3

∫（0-2π）dθ∫（0-1）ρdρ∫（ρ2~√2-ρ2）zdz=7π/12

Answer 4

等于7Π/12