Question

计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x^2-y^2)和z=x^2+y^2

Answer 1

题目:计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是由曲面z=√(2-x^2-y^2)和z=x^2+y^2.所围成.
首先,z=x^2+y^2是旋转抛物面,而不是圆柱面.
可求得:z=x^2+y^2与球面的交线到XOY面的投影柱面为:x^2+y^2 =1.
故三重积分的积分域可表达为: x^2+y^2<=1, x^2+y^2 <= z <=√(2-x^2-y^2).
按此计算三重积分,宜用如下积分顺序:( 可避免分割区域)
∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1 上,计算二重积分{ ∫∫ [ 从x^2+y^2 到 √(2-x^2-y^2).求 定积分 ∫z dz ] }dxdy
即先作一个定积分, 而后作一个二重积分.将定积分求出后,得:
∫∫∫zdv= 在 x^2+y^2 <= 1 上,计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-x^2-y^2) -( x^2+y^2)^2 ]dxdy
用极坐标,计算二重积分:
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 , 0<= θ<= 2π 上,计算二重积分{ ∫∫ (1/2)*[(2-r^2) -(r^2)^2 ]rdrdθ
得:(对θ 积出)
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{2π* ∫∫ (1/2)*[(2-r^2) -(r^2)^2 ]rdr
整理一下:
∫∫∫zdv= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{π* ∫∫ [(2-r^2) - r^4 ]rdr
= 在 0<=r <= 1 上,计算 定积分{π* ∫∫ (2r-r^3 - r^5 )dr
=π*(1- 1/4 - 1/6) =7π/12.

Answer 2

用截面法（先二后一）
当 0<z<1, x^2+y^2 < z ； 当 1<z<√2， x^2+y^2 < 2 - z^2
I = ∫[0,1] z dz ∫∫dxdy + ∫[1,√2] z dz ∫∫dxdy
= ∫[0,1] z * πz dz + ∫[1,√2] z * π(2 - z^2) dz
幂函数的积分，易求。