Question

已知a的平方+b的平方+c的平方=1,a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

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Answer 1

a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3
∴(a+c)/b+(a+b)/c+(b+c)/a=-3
∴(a+c)/b+1+(a+b)/c+1+(b+c)/a+1=0
∴(a++b+c)/b+(a+b+c)/c+(a+b+c)/a=0
∴(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
∴a+b+c=0或1/a+1/b+1/c=0
当1/a+1/b+1/c=0时，(ab+bc+ac)/(abc)=0，∴ab+bc+ac=0
∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1
∴a+b+c=±1
∴a+b+c=0或1或-1

Answer 2

因为a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3

所以a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0

a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0

(a+b+c)(ab+bc+ca)/abc=0

∵a^2+b^2+c^2=1
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=[(a+b+c)^2-1]/2

∴(a+b+c)(ab+bc+ca)/abc=(a+b+c)*[(a+b+c)^2-1]/(2abc)=0

1:a+b+c=0
2:a+b+c=±1