Question

请教线性代数问题!!!

1,想请教一下前辈,求矩阵的特征向量是否就是求原矩阵的基础解系?
2,求出特征值以后,代入原矩阵进行初等行列变换的时候,最后行列要化到程度?(最简是指?)
3,具体例题,A = (5 0 2; 0 5 2 ;2 3 2)已求出特征值分别是5,7,0
(1)求特征向量
(2)设有P,使P^-1AP为对角矩阵.求P
请就此题给解释说明一下!!先跪谢!!!!

Answer 1

1、设矩阵A有一个特征值λ，则求λ对应的特征向量就是求方程组(A-λE)x=0的非零解，求出基础解系，所有的特征向量可表示为基础解系的线性组合。
2、你的意思是去求特征向量，对矩阵A-λE进行初等行变换吗？根据齐次线性方程组的求解思路，化A-λE为行最简形即可。
3、对特征值λ=0,5,7，分别对矩阵A-λE用初等行变换化为行最简形，求基础解系，可得对应的特征向量(2,2,-5)，(3,-2,0)，(1,1,1)，三个特征向量作为列向量构成所求矩阵P，相应的对角矩阵的对角元是0,5,7。

Answer 2

1. 矩阵没有所谓的基础解系，所以肯定这个题目问错了，矩阵方程Ax=0有基础解系，但是你列式子就可以看出，只有特征值等于0时，解才可能和特征向量相等
2. 不知道你所谓的带入原矩阵是什么意思，特征值怎么带回原矩阵？

Answer 3

矩阵的特征向量：先令/A-λx/=0,求出λ，然后通过(A-λE)X=0,求出基础解析P,则kp（k属于R）为对应λ的特征向量。2。将特征向量正交化，在单位化，以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。

追问

谢谢,不过您说的单位化是指?如果方便的话,您能不能就我给出的这道例题给解释一下??最好能有步骤!

追答

这道题，当λ=5时，特征向量是（1，-1,0），当λ=7时，特征向量是（2,3,2），当λ=0时，特征向量是（2,3，-5），若是可逆矩阵p，使P^-1AP为对角矩阵，则p为（2，3，2。2，3，2。 2，3，-5）若是正交可逆矩阵，先正交化，（有公式），所谓单位化比如（1,2,2），
√1^2+2^2+2^2=3，单位化后为（1/3,2/3,2/3）