一道高数题,看下这么做对么,谢谢
假设f(x)在(a,∞)上连续,f(x)二阶导在此区间存在且大于零,F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a),证F(x)在此区间单增。我想对F(x)表达式直接用拉格朗...
假设f(x)在(a,∞)上连续,f(x)二阶导在此区间存在且大于零,F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a),证F(x)在此区间单增。
我想对F(x)表达式直接用拉格朗日中定得到F(x)=f‘(ε),然后F'(x)=f''(ε)>0,所以得证
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我想对F(x)表达式直接用拉格朗日中定得到F(x)=f‘(ε),然后F'(x)=f''(ε)>0,所以得证
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当然是错的,F(x)=f‘(ε),注意ε是x的函数,F'(x)=f''(ε)(dε/dx)
F'(x)=[f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)]/(x-a)^2
=f'(x)/(x-a)-(f(x)-f(a))/(x-a)^2
用拉格朗日中定理,存在ε,a<ε,使(f(x)-f(a))/(x-a)=f‘(ε)
再用拉格朗日中定理,存在ε‘,a<ε’,使(f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)
即:F'(x)=(f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)>0
F(x)在此区间单增.
F'(x)=[f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)]/(x-a)^2
=f'(x)/(x-a)-(f(x)-f(a))/(x-a)^2
用拉格朗日中定理,存在ε,a<ε,使(f(x)-f(a))/(x-a)=f‘(ε)
再用拉格朗日中定理,存在ε‘,a<ε’,使(f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)
即:F'(x)=(f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)>0
F(x)在此区间单增.
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