Question

P是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点,最大值与最小值

高二数学：p是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点，F1，F2是两个焦点，则|PF1|X|PF2|的最大值与最小值之差是？
告诉我最小值如何求就可以了！

Answer 1

解
P是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点
所以 |PF1|+|PF2|=2a
根据基本不等式
当且仅当|PF1|=|PF2|=a时， |PF1|*|PF2|取得最大值a²=4
根据椭圆的图像及特性可知
当 |PF1|与|PF2|相差最大时 |PF1|*|PF2|取得最小值（a+c）（a-c）=a²-c²=b²=3
所以 |PF1|X|PF2|的最大值与最小值之差是4-3=1

追问

当 |PF1|与|PF2|相差最大时 |PF1|*|PF2|取得最小值
椭圆有这个性质？

追答

这不是椭圆的性质，是代数问题
我们为书写和说明方便，把|PF1|和|PF2|记作x和y
则x+y=2a为定值
因为（x-y）²=（x+y）²-4xy=4a²-4xy
所以xy=[4a²-（x-y）²]/4=a²-（x-y）²/4
显然，当|x-y|取得最大值时，xy取得最小值

在椭圆中|PF1|与|PF2|的差的最大值点就在椭圆横轴的两个顶点（-a，0）和（a，0）上

Answer 2

可以令
x=2cost
y=根号3sint
F1 F2这两个焦点的坐标可以得到
然后再用距离公式求得|PF1|X|PF2|的表达式
利用三角函数的最大最小值即可求得其最大值与最小值