Question

求抛物线Y^2=X的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程

用点差法，要有具体过程

Answer 1

设直线是y=2x+b,代入抛物线
4x^2+(4b-1)x+b^2=0
x1+x2=(1-4b)/4=1/4-b
y1+y2=2x1+b+2x2+b=(1-4b)/2+2b=1/2
所以平行弦的中点坐标[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
即x=1/8-b/2
y=1/4
所以轨迹的纵坐标与b无关且处处相等
因此是一条和x轴平行的直线y=1/4

Answer 2

y^2=x
一组斜率为2的平行弦:y=2x+b,x=(y-b)/2
y^2=x=(y-b)/2≥0,y>b
2y^2-y+b=0
y1+y2=1/2,(y1+y2)/2=1/4
x1+x2=(y1+y2-2b)/2=(1-4b)/4,(x1+x2)/2=(1-4b)/8

斜率为2的平行弦的中点座标为:
x=(1-4b)/8,y=1/4
x=(1-4b)/8=y^2≥0,b≤1/4
即抛物线y^2=x的一组斜率为2的平行弦y=2x+b(b≤1/4)的中点的轨迹方程为:y=1/4
经检验,符合已知条件.