Question

二重积分的积分区间关于y=x对称有一些什么性质？

Answer 1

1、积分区域D关于直线y=x对称，则

(1){D区域}∫∫f(x,y)dxdy＝{D1区域}∫∫f(x,y)dxdy，当f(y，x)＝f(x，y)

＝0，当f(y，x)＝－f(x，y)

其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x)也可换为D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；

2、{D区域}∫∫f(x,y)dσ＝{D区域}∫∫f(y,x)dσ

这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

积分的线性性质

性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

性质2：（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外。

Answer 2

积分区域关于直线 y=x 对称的二重积分

(1) {D区域} ∫∫f(x,y)dxdy ＝ {D1区域}∫∫f(x,y)dxdy， 当f(y，x) ＝ f(x，y)

＝ 0 ，当f(y，x) ＝ －f(x，y)

其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x) 也可换为 D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；

(2) {D区域} ∫∫f(x,y)dσ ＝ {D区域}∫∫f(y,x)dσ

这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

记号

通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。

另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。

Answer 3

计算积分区域关于直线 y=x 对称的二重积分
积分区域关于y=x对称的二重积分常可以这样计算
1．积分区域D关于直线y=x对称,则
(1) {D区域} ∫∫f(x,y)dxdy ＝ {D1区域}∫∫f(x,y)dxdy， 当f(y，x) ＝ f(x，y)
＝ 0 ，当f(y，x) ＝ －f(x，y)
其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x) 也可换为 D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；
(2) {D区域} ∫∫f(x,y)dσ ＝ {D区域}∫∫f(y,x)dσ
这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

Answer 4

简单分析一下，详情如图所示