Question

已知圆M经过直线l:2x+y+4=0于圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点,且有最小面积,求圆方程 求解析

设x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0
谁能告诉我为什么这样设？

Answer 1

这个是经过直线上两点的圆系方程。
详述如下：
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，若圆心(a,b)为定点，r为参变数，则它表示同心圆的圆系方程．若r是常量，a（或b）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于x轴或y轴）的圆系方程．
　　经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0
　　的交点圆系方程为：
　　x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
　　经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程
　　x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
　　类型1：方程 表示半径为定长 的圆系 类型2：方程 表示以定点为圆心的同心圆系。
　　拓展1：方程 表示圆心落在定直线上，半径为r（r为正数） 的圆系。
　　拓展2：方程 表示圆心落在任意直线上，半径为定长 的圆系。
　　拓展3：方程 表示圆心落在直线 上的圆系。
　　拓展4：方程 表示圆心落在圆 上，半径为 的圆系。
　　类型3：共轴圆系
　　若⊙C1与⊙C2交于A、B两点，则直线AB称为这两个圆的根轴。经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系，这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB，因此我们称这种圆系为共轴圆系。
编辑本段理解
　　理解：1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点
　　解：可将原式化为x+y+m(y+1)=0
　　即为x+y=0；y+1=0
　　解得恒过点（1，-1）
　　由此我们理解到当除了x，y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点。
　　由此可联想：当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点。
　　过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：
　　x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0
　　理解2：有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式
　　x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式
　　①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0
　　此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立）
　　加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆。
例题
　　例2：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
　　分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
　　解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为
　　x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0
　　过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为
　　x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0
　　依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
　　代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8

同样还有类似的直线系方程、椭圆系方程等等，自己多了解这方面知识，对解题很方便的。

直线系方程　　直线系定义：
　　具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。它的方程叫做直线系方程，直线系方程的特征是含参数的二元一次方程。
　　2. 几种常见的直线系方程：
　　(1) 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ是参数)
　　(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx－Ay+λ=0(λ为参数)
　　(3) 过已知点P(x0,y0)的直线系方程 y－y0=k(x－x0)和x=x0(k为参数)
　　(4) 斜率为k0的直线系方程为y=k0x+b(b是参数)
　　(5) 过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程
　　A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)

本题可以直接求交点，按部就班地求圆的方程，最后也能做出来，但是就比较复杂了。