Question

请问微积分里弧长公式是如何推导出来的，十分感谢

如题目（包括各类函数），非常感谢高人指点！！

Answer 1

将其看作小的线段：

ds=根号下(dx^2+dy^2)

其中dy=dx*f'(x)

ds^2= dx^2 + dy^2

ds= 根号下(dx^2+dy^2)

把dx^2从根号提出来，就是∫ds =∫ 根号下[1+(dy/dx)^2]*dx

同理，∫ds =∫ 根号下[1+(dx/dy)^2]*dy

如果是参数函数，对于t[a,b]

∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]*dt

如果是极函数，(polar function)

∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [r^2 + (dr/dO)^2]*dr

折叠几何意义

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

Answer 2

楼上说得对，
ds^2= dx^2 + dy^2
ds= 根号下(dx^2+dy^2)

根据这个公式,可以退导其他的式子.
把dx^2从根号提出来，就是∫ds =∫ 根号下[1+(dy/dx)^2]*dx
同理，∫ds =∫ 根号下[1+(dx/dy)^2]*dy

如果是参数函数，对于t[a,b]
∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]*dt

如果是极函数，(polar function)
∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [r^2 + (dr/dO)^2]*dr
(O是角度theta,区间是〔a,b〕)这道题推导有点麻烦，得把x=cosr,y=sinr之类的都得带进去求导，就不说了。

Answer 3

将其看作小的线段:
ds=根号下(dx^2+dy^2)
其中dy=dx*f'(x)