Question

已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2)时，f（x）=2x-x2，

求当X属于【2,4】F(X)解析式。
求F(0)+F(1)+F(2)+.....F(2013)

Answer 1

1.f（x+2）=-f（x）， 得 f(x)=-f(x-2),
当x∈[2，4)时,x-2∈[0，2)
且x∈[0，2)时，f（x）=2x-x^2，
所以f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)^2]=x^2-6x+8
所以当x∈[2，4)时,f(x)=x^2-6x+8
又f（x+2）=-f（x）， 得 f(x+4)=-f(x+2),
所以f(x+4)=f(x) 即f(x)是以4为周期的周期函数，而f(0)=0 所以f(4)=0 ,满足f(x)=x^2-6x+8
综上所述 当x∈[0，2)时，f（x）=2x-x^2，
当x∈[2，4]时,f(x)=x^2-6x+8
2。由第1问知f(x)是以4为周期的周期函数,而f(0)=0 ,f(1)=1 ,f(2)=0 ,f(3)=-1
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0 而0到2013共有2014个自然数，2014=505*4+2
所以f(0)+f(1)+f(2)+....+f(2013)=f(0)+f(1)=1

Answer 2

当x∈[-2,0]时，x+2∈[0,2]
f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2)²]=-[2x+4-x²-4x-4]=x²+2x 当x∈[-2,0]
证明：
f(0)=0
在[-2,2]上
x>0,f(x)=2x-x²
-x<0
f(-x)=x²+2(-x)=-[2x-x²]=-f(x)
说明f(x)在[-2,2]上是奇函数
f(x+2)=-f(x)
令y=x+2
f(y)=-f(y-2)
再令x=y
f(x)=-f(x-2)=-f(x+2)
f(x+2)=f(x-2)
令y=x+2
f(y)=f(y-4)
再令x=y
f(x)=f(x-4)说明f（x）是以4为周期的
f(x)在[-2,2]上是奇函数
所以f(x)在R上是奇函数

设1≤x≤2，则-2≤-x≤-1，2≤-x+4≤3，
∵当2≤x≤3时，f(x)= -2(x-3)²+4，
∴f(-x+4)= -2(-x+1)²+4= -2(x-1)²+4，

∵f(x)=f(x+2)，
∴f(-x+4)=f(-x+2)=f(-x)，
又∵f(x)为R上的偶函数，
∴f(x)=f(-x)=f(-x+4)= -2(x-1)²+4，
故当x∈[1，2]时，f(x)= -2(x-1)²+4. f(x)=4x/(4x+2)

f(1/x)=(4/x)/(4/x+2)=4/(4+2x)=2/(x+2)

f(1/2013)+f(2/2013)+...+f(2010/2013)

=2(1/2015+2/2015+...+2010/2013)

=(2/2015)*(1+2+3+...+2010)

=(2/2015)*(1+2010)*2010/2

=2010*2011/2015

Answer 3

解：f（x+2）=-f（x）得f(x)=-f(x-2) 则f(x+2)=f(x-2) 即f(x)=f(x+4) 周期为4
1、当X属于【2,4】则0<=x-2<=2
故f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)^2] （自己化简即可）
2、根据周期求即可。
还是留给你自己做下比较好！