Question

如图，△ABC ，∠1=∠2， 求证：BD/DC=AB/AC。谁能帮帮我啊，快啊…………O(∩_∩)O谢谢啦！！

Answer 1

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC 

  已知和证明1图

 

 

　　证明：方法1：（面积法） 

 

　　S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, 

 

　　S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, 

 

　　∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 

 

　　又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 

  证明2图

 

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 

 

 

　　∴AB/AC=MB/MC 

 

　　方法2（相似形） 

 

　　过C作CN∥AB交AM的延长线于N 

 

　　则△ABM∽△NCM 

 

　　∴AB/NC=BM/CM 

 

　　又可证明∠CAN=∠ANC 

 

　　∴AC=CN 

 

　　∴AB/AC=MB/MC 

 

  证明3图

 

　　方法3（相似形） 

 

 

　　过M作MN∥AB交AC于N 

 

　　则△ABC∽△NMC, 

 

　　∴AB/AC=MN/NC 

 

　　而在△ABC内，∵MN∥AB 

 

　　∴AN/NC=BM/MC 

 

　　又可证明∠CAM=∠AMN 

 

　　∴AN=MN 

 

　　∴AB/AC=AN/NC 

 

　　∴AB/AC=MB/MC 

 

　　方法4（正弦定理） 

 

 

　　作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响） 

 

　　由正弦定理，得， 

  证明4图

AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, 

 

 

　　AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 

 

　　又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180° 

 

　　sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 

 

　　∴AB/AC=MB/MC

 

Answer 2

过点C做CE平行AB交AD的延长线与E. 即 AD//CE
∴∠1=∠AEC
又∴∠1=∠2 ∠1 + ∠2 = ∠AEC + ∠ACE
∴∠2=∠ACE 则 CA=AE
又 AD//CE 则 BD//DC=BA//AE
即 BD//DC=AB//AC

Answer 3

过点C做CE平行AB交AD的延长线与E.
∴∠1=∠AEC
又∴∠1=∠2
∴∠2=∠AEC
∴CA=CE
可证△DAB～△DEC
∴BD:DC=AB:EC
∴BD:DC=AB:AC