Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=α,BE//AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。 （1）求证：DF=FE；

(2)若AC=2CF,∠ADC=60°，AC⊥DC,求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。

Answer 1

1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
则CF为△DME的中位线，
DF=FE；
（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=AD•sin∠ADC= √3/2 a，
∴BE= √3 a．
（3）解：可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和△DME，
在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=a/2 ，由CF是△DME的中位线得CM=DC=a/2 ，
四边形ABMC是平行四边形得AB=MC=a/2 ，BM=AC= √3/2 a，
∴梯形ABMD面积为：(a/2 +a)× √3a/2 ×1/2 =3√3/8 a²；
由AC⊥DC和BE∥AC可证得△DME是直角三角形，
其面积为：1/2 × √3a/2 ×a= √3a²/4 ，
∴四边形ABED的面积为3√3a²/8 + √3a²/4 =5√3a²/8 ．

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