Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=α,BE//AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。

（1）求证：DF=FE；
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°，AC⊥DC,求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。

Answer 1

（1）过D作DN⊥BE于N，交AF于M，
∵DM是△ADC的高，MN是△ABC的高，
且两个三角形有公共底AC，
∴DM=MN
又AF∥BE，
∴MF是△ANE的中位线，∴DF=EF成立。
（2）设CF=x，AC=2x，
∵∠ADC=60°，AC⊥DC，
∴CD=2x/√3=a/2，（即AD的一半）
x=√3a/4。延长DC交BE于H，
HE=

Answer 2

(1)连接BD,与AC交于点O，则O为BD的中点。
又因为OF//BE，所以OF为三角形BDE底边BE的中位线
所以F为DE的中点，从而DF=FE
（2）因为AC=2CF，又O是AC的中点，所以C是OF的中点
又∠ADC=60°，AC⊥DC，AD=α，所以OF=AC=√3α/2
所以BE=2OF=√3α
（3）S=3√3α^2/4

Answer 3

1、 过D作DN⊥BE于N，交AF于M，
∵DM是△ADC的高，MN是△ABC的高，
且两个三角形有公共底AC，
∴DM=MN
又AF∥BE，
∴MF是△ANE的中位线，∴DF=EF成立。
2、 因为AC=2CF，又O是AC的中点，所以C是OF的中点
又∠ADC=60°，AC⊥DC，AD=α，所以OF=AC=√3α/2
所以BE=2OF=√3α
3、 S=3√3α^2/4