Question

方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解（x,y,z）的个数是

求详解
其实在网络上也可以搜到答案 不过有些不明白 指点一下就好
首先易知2010=x+y+z的正整数解的个数为2009x1004种
. 把2010=x+y+z满足x≤y≤z的正整数解分为三类： （1）zyx,,均相等的正整数解的个数显然为1； （2）zyx,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设zyx,,两两均不相等的正整数解为k 这些我都明白 ，下面的就不是很清楚
易知1+3x1003+6k=2009x1004 k=335671 最后答案是1+1003+k=336675 为什么1003要乘以3呢，还有k为什么要乘6？ 就是这个疑惑 ，谢谢

Answer 1

当题目是求x＜y＜z的解时，
首先将所有的正整数解算出来：
当x＝1时，y取1－2008，相应地，z取2008－1，共有2008个解，
当x＝2时，y取1－2007，相应地，z取2007－1，共有2007个解，
..........
当x＝2008时，y取1，相应地，z1，共有1个解。
加起来，1+2+3+.....+2008=(1+2008)×2008/2＝2009x1004。
注意，这包括了许多相等的解，以及即便不等，但x＞y等等的解，需要去除。
分三类：
1）zyx,,均相等的正整数解的个数显然为1；
2）zyx,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003
（如x＝y，必有z为偶数，z可以取2、4、...2008，共1004种，但要去除x＝y＝z＝670这一种）
这里面有三种情况，即x=y，y＝z，z＝x，每一种都是1003个。
3)设zyx,,两两均不相等的正整数解为k 个，这里面按大小分共有6种情况：
即x最大，两种，y最大，两种，z最大，两种。我们只去求其中z最大，x最小的那种，设为K。
所以，1+3x1003+6k=2009x1004 k=335671 ，这个解是x＜y＜z的解。

但是，你的题目是 方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解（x,y,z）的个数
因此，此题的解应该考虑相等的情况。
当x＝y＜z时，x＝y可以取1－669，共669种
当x＜y＝z时，y＝z可以取671－1004，共334种 ，
当x＝y＝z时，1种，
k＝ 335671 +669+334+1＝336675种。这是你这道题的答案。

Answer 2

解：乘以3是指xyz两两相等组合有3种情况，乘6是指xyz两两均不相等的排列有6种情况

Answer 3

答案中乘3与乘6的原因在于xyz顺序不定。但你这题中却是要求了x≦y≦z，所以这答案不是你这题的答案。

Answer 4

x=1,y=1~1004
x=2,y=2~1004
x=3,y=3~1003
x=4,y=4~1003
......
x=679,y=679~670
x=670,y=670
汇总＝(1004+1003) +(1001+1000)+ .... +(2+1)
=(1004+1003+3)*335/2=336675

追问

汇总不懂

追答

数一下每行y的取值个数
对“个数”汇总，两两一组，构成等差数列，数一下该数列有335项